谢尔宾斯基地毯的维数为 在分形光子晶格中观察到的反常量子传输现象

在分形光子晶格中观察到的反常量子传输现象

分形是复杂的结构，通常表现出自相似性并具有非整数维数。术语“分形”是由著名数学家 Benoit B. Mandelbrot 首次引入的。他注意到，到处都有许多自然物体是分形的，如雪花、树枝、海岸线等。在自然之外，分形图案或结构也是人为创造的。一种著名的分形类型，谢尔宾斯基垫片，不仅在古代被广泛用于教堂的装饰，而且在现代人工装置工程中也被广泛使用。迄今为止，分形特征已经在包括量子力学、光学、金融、生理学等广泛领域中得到了报道。

分形外观的美感源于自相似性。物理学家也对嵌入在这些非整数维度的非常规系统中的微妙物理定律感兴趣。欧几里得几何是整数维的，物理定律多是在整数维空间的情况下引入的。然而，异常现旦档象可能会在不同的情况下发生。尽管近几十年来有大量的理论和数值研究，但对分形空间中量子输运的实验研究仍然难以捉摸。

近日，上海交通大学金贤敏教授课题组与乌得勒支大学C. Morais Smith教授合作，对分形空间中的量子输运动力学进行了实验研究，并观察到了异常现象。通过使用飞秒激光通过直接书写技术，研究人员能够制造出轮廓为分形的光子晶格。三种典型的分形，谢尔宾斯基垫片、谢尔宾斯基地毯和双谢尔宾斯基地毯，被精确地映射到光子晶格。它们在豪斯多夫维数（即分形维数）或几何学上是不同的。双谢尔宾斯基地毯虽然继承了谢尔宾斯基地毯的豪斯多夫尺寸，但它们的几何形状完全不同。三个分形之间的差异使研究人员能够研究量子传输和分形之间的相互作用。

在研究中，量子游走是经典随机游走的量子模拟，被用作研究量子传输的模型。光子被发射到光子晶格中以执行连续时间量子行走。晶格的长度决定了光子的演化时间。通过编写具有增量长度的光子晶格，研游宴究人员设法捕捉到光子在不同时刻的演化结果，从而揭示了量子传输动力学。均方位移 (MSD) 用于表征量子传输动力学。

结果表明，运输动力学很难用单一的制度来描述。它通常经历几个阶段，如正常状态、分形状态和最终饱和，这与常规情况不同。值得强调的是，与 MSD 以二次方缩放的平移不变格子相比，MSD（在分形区域中）仅由 Hausdorff 维数决定。这种异常现象与 Fleischmann 等人的理论建议非常吻合。研究人员还通过在相当大的分数空间中进行模拟，并通过研究输入位置（即光子发射到晶格的位置）上关系的独立性，进一步证实了所提出的关系的稳 健性。

该研究为更深入地理解分数空间中的物理定律铺平了道路。除了对物理学的基本兴趣之外，它还可能阐明量子力学是否在生物系统中的传输中发挥任何作用，例如分形状的大脑层次结构和一直发生能量传输或信息传输的分支树。从量子算法方面，分形光子晶格的实现为基于连续时间量子游走的量子空间搜索的实验 探索 奠定了神迟银基础。

更多信息: Mandelbrot, B. B. Fractals: Form, Chance and Dimension (W. H. Freeman, 1977)

Mandelbrot, B. B. The Fractal Geometry of Nature (W. H. Freeman, 1983)

Xu, X.-Y. et. al. Quantum transport in fractal network. Nat. Photon. (2021). DOI: 10.1038/s41566-021-00845-4

Fleischmann, R., Geisel, T., Ketzmerick, R. & Petschel, G. Quantum diffusion, fractal spectra, and chaos in semiconctor microstructures. Physica D 86, 171–181 (1995)

如何构建门格海绵受压时的力学本构模型？

本构模型是应力应变关系，你用了线弹性假设那就是线弹性本构关系。如果你想要的是它单轴试验时候的弹性系数，那么只要有限元建一个执行了删减步骤五六次之后的几何体，施加荷载算一下就行，因为之后的删减只会添加应力集中，对与整体的变形不会有特别大的贡献。如果你想要的是它内部的应力场，如果最后孔洞的大小趋于0，则它这部分周围的应力是无穷的。本构关系就是应力与应变之间的关系。如果没有本构关系，如何计算？本构关系是通过试验、监测抽象出来的，自然试验、监测也很重要。现在本构关系有好多，这说明岩土这种材料的复杂性和区域性，很难用一个统一的本构关系描述一切岩土，也说明现在岩土的本构研究还不够，还需要继续深入研究目前岩土方面本构模型非常多，其中岩石方面的应该是更多一些，也更复杂一些，但应用最多的还是理想的睁伏摩尔库伦本构模型，其原因当然不是它更能很好的反映岩土材料的应力应变关系，而是其参数少且易于确定，从而喊颂使得其应用最广。孟结海绵(Menger sponge)是一种特殊的立方体结构。孟结海绵说明在立方体里面同时能分出许多的立方体﹐这些是采数列的方式来增加的﹐因此在体积小的立方体上，却可以拥有很大的表面积。的定义如下： 先拿一个正方体。将正方体的面均分成9个正方形，正方体于是均分成27个小的正方体。 从每个面取走中间的小正方体，正方体中心的小正方体亦要取走。这样便得出一个Level 1的Menger sponge 对每个剩下的小正方体都重复1-以上步骤重复一次得出Level 2的Menger sponge，再来一次得出Level 3的Menger sponge，无限重复便得出真正的Menger sponge。大学科学家宫本﹐在2004年曾发表一篇文章﹐率先成功的利用所谓孟结海（Menger Sponge）的多孔立方体捕捉到光谱的一部分 Spectrum)﹐模拟出类似黑洞的效﹐悉渗携这种技术日后可能在隐密技术和光能计算机这两个领域派上用场。

谢尔宾斯基地毯通项公式

观察周长的变化。
设第一个三角形的边长为1，它的周长为3，3=3 X （3/2）^0
第二个图中，有三个黑色的三角形，每个三角形的边长为1/2，周长=3 X【（1/2）X 3】=9/2=3 X （3/2）^1
第三个图中，有九个黑色的三角形，每个三角形的边长为1/4，周长=9 X【（1/4）X 3】=27/4=3 X （裂瞎3/2）^2
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…………
第n个图中，有3^（n-1）拆肆个黑色的三角形，每个三角形的边长为1/2^（n-1），周长=3^（n-1） X｛【1/2^（n-1）】X 3｝=3 X （3/2）^（n-1）

再观察面积的变化
设第一个图中，黑色图形的的面积为1
第二个图形中，三个小得黑色三角形都与大三角形相似，每个小黑色三角形的边长是大三角形的一半，所以每个小黑色三角形的面积是大三角形的四分之一，阴影面积是3/4
同理，第三个图中，阴影面积为9/16
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所肆御空以，第n个图中，阴影的面积=（3/4）^（n-1）